다각형의 대각선 개수 구하는 방법 | 공식까지 쉽게 이해하기 다각형의 대각선 개수를 구하는 문제는 처음 보면 선을 하나씩 세어야 할 것 같지만, 원리를 이해하면 공식 하나로 바로 구할 수 있습니다. 핵심은 간단합니다. 한 꼭짓점에서 몇 개의 대각선을 그을 수 있는지 먼저 생각한 뒤, 전체 꼭짓점에 적용하면 됩니다. 1. 대각선이란 무엇일까? 다각형에서 서로 이웃하지 않은 두 꼭짓점을 이은 선분을 대각선 이라고 합니다. 예를 들어 사각형 abcd가 있다고 해봅시다. a와 b는 서로 이웃한 꼭짓점이므로 ab는 변 입니다. a와 d도 서로 이웃해 있으므로 ad도 변 입니다. 하지만 a와 c는 서로 이웃하지 않습니다. 따라서 ac는 대각선 입니다. 마찬가지로 b와 d는 서로 이웃하지 않습니다. bd도 대각선 입니다. ❗기억하기 이웃한 꼭짓점끼리 연결 → 변 이웃하지 않은 꼭짓점끼리 연결 → 대각선 2. 삼각형에는 대각선이 몇 개일까? 삼각형 abc를 생각해 봅시다. a에서 다른 꼭짓점으로 선을 그으면 a-b a-c 두 개뿐입니다. 그런데 b와 c는 모두 a와 이웃한 꼭짓점입니다. 따라서 둘 다 삼각형의 변이고 대각선은 아닙니다. 그래서 삼각형의 대각선은 0개 입니다. 3. 사각형에는 대각선이 몇 개일까? 이번에는 사각형 abcd를 살펴보겠습니다. a에서 대각선을 그을 수 있는 꼭짓점은 c 하나입니다. 따라서 ac 를 그을 수 있습니다. 다른 쪽에서는 bd 를 그을 수 있습니다. 그래서 사각형의 대각선은 모두 2개 입니다. 4. 오각형에서는 한 꼭짓점에서 몇 개를 그을 수 있을까? 오각형 abcde에서 꼭짓점 a만 생각해 보겠습니다. a와 연결할 수 있는 다른 꼭짓점은 b, c, d, e 입니다. 하지만 b와 e는 a와 이웃한 꼭짓점 이므로 a-b와 a-e는 변 입니다. 따라서 대각선으로 연결할 수 있는 곳은 c d 뿐입니다. 즉, 오각형에서 한 꼭짓점 에서 그을 수 있는 대각선은 2개 입니다. 5. n각형에서 한 꼭짓점에서는 몇 개의 대각선을 그을까? 이제 규칙을 찾아보겠습니다. n각형에는 꼭짓점이 n개 있습니다. 한 꼭짓점 a에서 생각하면 전체 꼭짓점 n개 중에서 연결하지 않는 곳이 세 군데 있습니다. ① 자기 자신 a와 a를 연결할 수 없습니다. → 1개 제외 ② 양옆의 이웃한 꼭짓점 이 두 꼭짓점과 연결하면 대각선이 아니라 변이 됩니다. → 2개 제외 따라서 전체 n개에서 3개를 빼면 됩니다. n - 3 즉, 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 n - 3개 입니다. 6. 그럼 전체 대각선은 n(n - 3)개일까? 여기서 가장 중요한 부분입니다. 꼭짓점이 n개이고 한 꼭짓점에서 n - 3개 의 대각선 을 그을 수 있으므로 그대로 곱하면 n(n - 3) 이 됩니다. 하지만 이것이 최종 답은 아닙니다. 왜일까요? 하나의 대각선을 두 번 세기 때문입니다 예를 들어 대각선 ac를 생각해 보겠습니다. a에서 출발해서 c로 연결할 때 ac를 한 번 셉니다. 그런데 c에서 출발해서 a로 연결할 때도 ca를 또 한 번 셉니다. ac와 ca는 같은 대각선입니다. 즉, 모든 대각선을 두 번씩 세게 됩니다. 따라서 마지막에 2로 나누어야 합니다. 7. 다각형의 대각선 개수 공식 그래서 n각형의 대각선 개수는 n(n - 3) ÷ 2 입니다. 보통 다음과 같이 씁니다. 대각선의 개수 = n(n - 3) / 2 여기서 n = 다각형의 꼭짓점 수 입니다. 공식이 만들어지는 과정 한 꼭짓점에서 n - 3개 꼭짓점이 n개이므로 n(n - 3) 같은 대각선을 두 번 세었으므로 ÷ 2 n(n - 3) / 2 8. 예제로 계산해 보기 예제 1. 사각형 사각형은 n = 4 입니다. 공식에 넣으면 4 × (4 - 3) ÷ 2 = 4 × 1 ÷ 2 = 2 따라서 사각형의 대각선은 2개 입니다. 예제 2. 오각형 오각형은 n = 5 입니다. 5 × (5 - 3) ÷ 2 = 5 × 2 ÷ 2 = 5 따라서 오각형의 대각선은 5개 입니다. 예제 3. 육각형 육각형은 n = 6 입니다. 6 × (6 - 3) ÷ 2 = 6 × 3 ÷ 2 = 9 따라서 육 각형의 대각선은 9개 입니다. 9. 숫자로 규칙을 확인해 보기 직접 공식에 넣어보면 모두 같은 결과가 나옵니다. 예를 들어 칠각형은 7 × (7 - 3) ÷ 2 = 7 × 4 ÷ 2 = 14 입니다. 10. 가장 많이 하는 실수 ❌ 실수 1. n - 2라고 생각하기 한 꼭짓점에서는 자기 자신뿐 아니라 양옆의 두 꼭짓점도 제외해야 합니다. 따라서 n - 3 입니다. ❌ 실수 2. n(n - 3)에서 끝내기 이렇게 계산하면 모든 대각선을 두 번씩 셉니다. 마지막에 반드시 ÷ 2 를 해야 합니다. ❌ 실수 3. 변도 대각선으로 세기 서로 이웃한 두 꼭짓점을 연결한 선분은 대각선이 아니라 변 입니다. ❌ 실수 4. 공식을 외우기만 하기 공식을 잊어도 원리를 기억하면 다시 만들 수 있습니다. 한 꼭짓점 → n - 3 전체 꼭짓점 → × n 두 번 셈 → ÷ 2 이 세 단계만 기억하면 됩니다. 문제로 확인하기 문제 1 팔각형의 대각선은 몇 개일까요? 풀이 n = 8 8 × (8 - 3) ÷ 2 = 8 × 5 ÷ 2 = 20 답: 20개 문제 2 십각형의 대각선은 몇 개일까요? 풀이 n = 10 10 × (10 - 3) ÷ 2 = 10 × 7 ÷ 2 = 35 답: 35개 공식 외우지 않고 기억하는 방법 공식 자체가 헷갈린다면 다음 문장을 기억해 보세요. 자기 자신과 양옆을 뺀다. 한 꼭짓점에서는 n - 3 모든 꼭짓점에서 그린다. × n 두 번 중복이 반으로 나눈다. ÷ 2 공식 n(n - 3) / 2 이 됩니다. 한 문장으로 기억하기 자기 자신과 양옆 2개를 빼서 n-3, 모든 꼭짓점에 적용해 n을 곱하고, 두 번 센 것을 없애기 위해 2로 나눕니다. #평면도형 #다각형 #대각선
