작도와 삼각형 합동 한 번에 끝내기 | 작도 원리부터 sss·sas·asa까지 작도와 삼각형의 합동은 처음 배우면 내용이 많아 보입니다. 하지만 전체 흐름을 연결해서 보면 생각보다 단순합니다. 자와 컴퍼스로 같은 길이를 만든다 → 삼각형을 작도한다 → 삼각형이 하나로 정해지는 조건을 이해한다 → 두 삼각형의 합동을 판단한다 이 순서만 잡으면 작도와 합동을 훨씬 쉽게 이해할 수 있습니다. 1. 작도란 무엇일까? 작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용해 조건에 맞는 도형을 정확하게 그리는 것 입니다. 두 도구의 역할부터 기억하면 쉽습니다. 눈금 없는 자 → 두 점을 연결해 선을 그린다 컴퍼스 → 같은 길이를 옮기거나 원과 호를 그린다 작도에서는 자로 길이를 재거나 각도기로 각의 크기를 재지 않습니다. 컴퍼스를 이용해 같은 거리를 만들면서 필요한 점을 찾아가는 것이 핵심 입니다. 👉 [ 작도란 무엇일까? 자와 컴퍼스로 도형 그리는 원리 ] 2. 선분의 수직이등분선 작도하기 선분 ab를 정확히 반으로 나누면서 ab와 수직으로 만나는 직선을 수직이등분선 이라고 합니다. 작도 방법은 간단합니다. 1. 컴퍼스를 ab의 절반보다 넓게 벌립니다. 2. a를 중심으로 위아래에 호를 그립니다. 3. 같은 컴퍼스 폭으로 b에서도 호를 그립니다. 4. 두 호가 만나는 두 점을 연결합니다. 이 직선이 ab의 수직이등분선입니다. ❗꼭 기억하기 수직이등분선 위의 점은 a와 b까지의 거리가 같습니다. 👉 [ 선분의 수직이등분선 작도하는 방법 | 그림으로 쉽게 이해하기 ] 3. 각의 이등분선 작도하기 하나의 각을 크기가 같은 두 각으로 나누는 반직선을 각의 이등분선 이라고 합니다. ∠aob를 작도한다면 1. o를 중심으로 호를 그려 두 변과 만나는 점 p, q를 찾습니다. 2. p와 q에서 같은 크기의 호를 그립니다. 3. 두 호의 교점을 r이라고 합니다. 4. o와 r을 연결합니다. 그러면 ∠aor = ∠rob 이 됩니다. ❗핵심 마지막에는 p와 q가 아니라 o와 r을 연결합니다. 👉 [ 각의 이등분선 작도하는 방법 | 순서대로 따라하기 ] 4. 세 변의 길이로 삼각형 작도하기 세 변의 길이가 주어졌다면 삼각형도 작도할 수 있습니다. 예를 들어 △abc를 만든다면 1. 먼저 선분 ab를 그립니다. 2. a를 중심으로 ac 길이의 호를 그립니다. 3. b를 중심으로 bc 길이의 호를 그립니다. 4. 두 호의 교점을 c라고 합니다. 5. a-c, b-c를 연결합니다. 이렇게 하면 △abc가 완성됩니다. 여기서 중요한 것은 점 c가 두 조건을 동시에 만족하는 위치라는 것입니다. ac의 길이가 맞고, bc의 길이도 맞아야 하므로 두 호의 교점을 이용합니다. 👉 [ 삼각형 작도하는 방법 | 세 변의 길이를 알 때 ] 5. 세 변이 있으면 항상 삼각형이 만들어질까? 그렇지는 않습니다. 삼각형을 만들려면 두 짧은 변의 길이의 합이 가장 긴 변보다 커야 합니다. 예를 들어 3, 4, 5 라면 3 + 4 > 5 이므로 삼각형을 만들 수 있습니다. 하지만 3, 4, 8 이라면 3 + 4 < 8 이므로 삼각형을 만들 수 없습니다. 실제로 작도해 보면 두 호가 서로 만나지 않습니다. 6. 삼각형이 하나로 정해지는 조건 이제 작도에서 합동으로 넘어가는 중요한 부분입니다. 삼각형의 크기와 모양이 하나로 정해지는 대표적인 경우는 세 가지입니다. ① 세 변의 길이가 주어진 경우 → 변 변 변 ② 두 변과 그 사이의 각이 주어진 경우 → 변 각 변 ③ 한 변과 그 양 끝각이 주어진 경우 → 각 변 각 반대로 세 각의 크기만 알아서는 삼각형의 크기가 정해지지 않습니다. 작은 정삼각형과 큰 정삼각형을 생각하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 둘 다 각은 60°, 60°, 60° 이지만 크기는 다릅니다. 👉 [ 삼각형이 하나로 정해지는 조건 쉽게 이해하기 ] 7. 삼각형의 합동이란? 두 삼각형을 포개었을 때 정확히 겹친다면 두 삼각형은 서로 합동 입니다. 즉, 합동 = 크기와 모양이 모두 같다 라는 뜻입니다. 예를 들어 △abc ≡ △def 라고 쓰여 있다면 글자의 순서도 중요합니다. a ↔ d b ↔ e c ↔ f 가 서로 대응합니다. 따라서 대응변 은 ab ↔ de bc ↔ ef ca ↔ fd 이고, 대응각 은 ∠a ↔ ∠d ∠b ↔ ∠e ∠c ↔ ∠f 입니다. 👉 [ 삼각형의 합동이란? 합동의 뜻과 성질 쉽게 이해하기 ] 8. sss sas asa 합동 조건 두 삼각형의 모든 변과 각을 하나씩 비교할 필요는 없습니다. 특정 조건만 만족하면 두 삼각형이 합동 이라는 것을 알 수 있습니다. sss 합동 세 변의 길이가 각각 같다. s는 side, 즉 변을 뜻합니다. 따라서 sss = 변 변 변 입니다. sas 합동 두 변의 길이와 그 사이의 각이 각각 같다. 여기서 가장 중요한 표현은 그 사이의 각 입니다. 단순히 두 변과 아무 각 하나가 같은 것이 아닙니다. sas = 변 사이각 변 이라고 기억하세요. asa 합동 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 각각 같다. 중요한 것은 주어진 두 각이 그 변의 양쪽 끝에 있는 각이라는 점입니다. asa = 각 변 각 이라고 기억하면 쉽습니다. 👉 [ sss sas asa 합동 조건 한 번에 이해하기 ] 9. sss sas asa 한눈에 비교하기 합동 조건 확인하는 것 가장 중요한 부분 sss 세 변 세 대응변이 각각 같은가? sas 두 변 + 각 하나 각이 두 변 사이의 각 인가? asa 한 변 + 각 두 개 각이 그 변의 양 끝각 인가? 10. 삼각형 합동에서 가장 많이 틀리는 부분 합동 조건을 외우고 있어도 다음 부분에서 실수하기 쉽습니다. 실수 1. 합동 기호의 순서를 무시한다 △abc ≡ △def 라면 반드시 a ↔ d b ↔ e c ↔ f 입니다. 그림의 위치보다 글자의 순서가 우선입니다. 실수 2. sas에서 아무 각이나 사용한다 두 변이 주어졌다면 두 변이 만나는 곳의 각, 즉 사이각을 찾아야 합니다. 실수 3. asa에서 양 끝각을 확인하지 않는다 주어진 한 변의 양 끝에 있는 두 각인지 확인합니다. 실수 4. 세 각이 같으면 합동이라고 생각한다 세 각만 같으면 모양은 같을 수 있지만 크기는 달라질 수 있습니다. 따라서 aaa는 합동 조건이 아닙니다. 실수 5. 그림만 보고 판단한다 시험 그림은 실제 길이나 각도와 정확하게 비례하지 않을 수도 있습니다. 문제에서 주어진 표시와 조건으로 판단해야 합니다. 👉 [ 삼각형 합동에서 가장 많이 틀리는 유형 | 시험 전 꼭 확인 ] 11. 합동 문제는 이 순서로 풀어보세요 문제가 복잡해 보여도 다음 순서대로 보면 정리가 쉽습니다. 1단계. 같은 변과 같은 각을 찾기 문제에서 주어진 표시를 확인합니다. 2단계. 합동 조건 찾기 sss / sas / asa 중 어떤 조건인지 확인합니다. 3단계. 두 삼각형이 합동인지 판단하기 조건이 만족되면 합동임을 확인합니다. 4단계. 대응변과 대응각 이용하기 합동을 확인한 뒤 대응변의 길이가 같다 대응각의 크기가 같다 는 성질을 이용합니다. ❗중요한 순서 조건 → 합동 확인 → 대응변 대응각 이용 입니다. 12. 작도와 합동은 어떻게 연결될까? 작도와 합동을 따로 외우면 내용이 많아 보입니다. 하지만 사실 같은 원리를 배우고 있습니다. 세 변을 이용해 삼각형을 작도하면 세 변의 길이가 정해져 있으므로 삼각형이 하나로 정해집니다. 그래서 두 삼각형의 세 변이 각각 같다면 sss 합동 두 변과 그 사이의 각으로 삼각형이 하나로 정해집니다. 그래서 두 삼각형에서 이 조건이 각각 같다면 sas 합동 한 변과 그 양 끝각으로도 삼각형이 하나로 정해집니다. 그래서 두 삼각형에서 이 조건이 각각 같다면 asa 합동 즉, 삼각형이 하나로 정해지는 조건이 그대로 삼각형의 합동 조건과 연결 됩니다. 13. 문제 10개로 마지막 확인하기 개념을 읽었다면 마지막에는 직접 문제를 풀어보는 것이 좋습니다. 문제에는 다음 핵심 유형이 들어 있습니다. 자와 컴퍼스의 역할 수직이등분선 작도 각의 이등분선 작도 세 변으로 삼각형 작도 삼각형이 만들어지는 조건 삼각형이 하나로 정해지는 조건 sss 합동 sas 합동 asa 합동 대응하는 변 찾기 먼저 문제를 직접 풀어본 뒤 풀이를 확인하는 방식을 추천합니다. 👉 [ 작도와 합동 문제 10개로 끝내기 | 시험 대비 핵심 문제 모음 ] 작도와 합동 공부 순서 처음 공부한다면 다음 순서대로 보는 것이 가장 자연스럽습니다. ① 작도란 무엇일까? ② 선분의 수직이등분선 작도 ③ 각의 이등분선 작도 ④ 세 변으로 삼각형 작도 ⑤ 삼각형이 하나로 정해지는 조건 ⑥ 삼각형의 합동 ⑦ sss sas asa 합동 조건 ⑧ 삼각형 합동에서 많이 틀리는 유형 ⑨ 작도와 합동 문제 10개 앞 내용을 이해해야 다음 내용이 자연스럽게 연결되므로 처음 공부한다면 순서대로 보는 것이 좋습니다. 시험 전 이것만은 기억하세요 작도 컴퍼스 → 같은 거리 호의 교점 → 조건을 동시에 만족하는 점 수직이등분선 a와 b에서 같은 크기의 호 각의 이등분선 p와 q에서 같은 크기의 호 → o와 r 연결 삼각형 작도 양 끝점에서 두 호 → 교점이 세 번째 꼭짓점 sss 세 변 sas 두 변 + 사이각 asa 한 변 + 양 끝각 합동 기호 글자 순서대로 대응 #작도 #합동 #sss #sas #asa
